Resolver {c}{y=2x+1}{y=-5x+15}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 x + 1 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=1$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+1$$

Substitúe y por 2x+1 na outra ecuación, y+5x=15.

$$2x+1+5x=15$$

Suma 2x a 5x.

$$7x+1=15$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$7x=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4+1$$

Suma 1 a 4.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\times 15\\-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Resta y+5x=15 de y-2x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-2x-5x=1-15$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-5x=1-15$$

Suma -2x a -5x.

$$-7x=1-15$$

Suma 1 a -15.

$$-7x=-14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+5x=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+5\times 2=15$$

Multiplica 5 por 2.

$$y+10=15$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$