Resolver {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2x=2$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=-2x+2$$

Substitúe y por -2x+2 na outra ecuación, 5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

Multiplica 5 por -2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

Suma -10x a 2x.

$$-8x+10=14$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=4$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{1}{2} en y=-2x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

Multiplica -2 por -\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

Suma 2 a 1.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Resta 5y+2x=14 de y+2x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-5y=2-14$$

Suma y a -5y.

$$-4y=2-14$$

Suma 2 a -14.

$$-4y=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 5y+2x=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5\times 3+2x=14$$

Multiplica 5 por 3.

$$15+2x=14$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$