Resolver {c}{x-4y=-13}{6x+4y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y = - 13 } \\ { 6 x + 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-4y=-13$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=4y-13$$

Substitúe x por 4y-13 na outra ecuación, 6x+4y=6.

$$6\left(4y-13\right)+4y=6$$

Multiplica 6 por 4y-13.

$$24y-78+4y=6$$

Suma 24y a 4y.

$$28y-78=6$$

Suma 78 en ambos lados da ecuación.

$$28y=84$$

Divide ambos lados entre 28.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=4y-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times 3-13$$

Multiplica 4 por 3.

$$x=12-13$$

Suma -13 a 12.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-4\times 6\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-13\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{3}{14}\left(-13\right)+\frac{1}{28}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

Para que x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$6x+6\left(-4\right)y=6\left(-13\right),6x+4y=6$$

Simplifica.

$$6x-24y=-78,6x+4y=6$$

Resta 6x+4y=6 de 6x-24y=-78 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-24y-4y=-78-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-24y-4y=-78-6$$

Suma -24y a -4y.

$$-28y=-78-6$$

Suma -78 a -6.

$$-28y=-84$$

Divide ambos lados entre -28.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 6x+4y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+4\times 3=6$$

Multiplica 4 por 3.

$$6x+12=6$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$