Resolver {c}{x-3-2(y+1)=-12}{3(x-2y)-2y=-21}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 3 - 2 ( y + 1 ) = - 12 } \\ { 3 ( x - 2 y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$x-5-2y=-12$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-2y=-12+5$$

Suma -12 e 5 para obter -7.

$$x-2y=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Combina -6y e -2y para obter -8y.

$$3x-8y=-21$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=-7$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y-7$$

Substitúe x por 2y-7 na outra ecuación, 3x-8y=-21.

$$3\left(2y-7\right)-8y=-21$$

Multiplica 3 por 2y-7.

$$6y-21-8y=-21$$

Suma 6y a -8y.

$$-2y-21=-21$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=2y-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$x-5-2y=-12$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-2y=-12+5$$

Suma -12 e 5 para obter -7.

$$x-2y=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Combina -6y e -2y para obter -8y.

$$3x-8y=-21$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-8-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-8-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-8-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\left(-7\right)-\left(-21\right)\\\frac{3}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$x-5-2y=-12$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-2y=-12+5$$

Suma -12 e 5 para obter -7.

$$x-2y=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Combina -6y e -2y para obter -8y.

$$3x-8y=-21$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-7\right),3x-8y=-21$$

Simplifica.

$$3x-6y=-21,3x-8y=-21$$

Resta 3x-8y=-21 de 3x-6y=-21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-6y+8y=-21+21$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+8y=-21+21$$

Suma -6y a 8y.

$$2y=-21+21$$

Suma -21 a 21.

$$2y=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 3x-8y=-21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x=-21$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=0$$