Resolver {c}{x+y=6}{2x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+6$$

Substitúe x por -y+6 na outra ecuación, 2x-2y=4.

$$2\left(-y+6\right)-2y=4$$

Multiplica 2 por -y+6.

$$-2y+12-2y=4$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y+12=4$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2+6$$

Suma 6 a -2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 6,2x-2y=4$$

Simplifica.

$$2x+2y=12,2x-2y=4$$

Resta 2x-2y=4 de 2x+2y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y+2y=12-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+2y=12-4$$

Suma 2y a 2y.

$$4y=12-4$$

Suma 12 a -4.

$$4y=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-2\times 2=4$$

Multiplica -2 por 2.

$$2x-4=4$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$