Resolver {c}{x+2y=1}{-3x+y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+1$$

Substitúe x por -2y+1 na outra ecuación, -3x+y=-10.

$$-3\left(-2y+1\right)+y=-10$$

Multiplica -3 por -2y+1.

$$6y-3+y=-10$$

Suma 6y a y.

$$7y-3=-10$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$7y=-7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-1\right)+1$$

Multiplica -2 por -1.

$$x=2+1$$

Suma 1 a 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{7}\left(-10\right)\\\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Para que x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3x-3\times 2y=-3,-3x+y=-10$$

Simplifica.

$$-3x-6y=-3,-3x+y=-10$$

Resta -3x+y=-10 de -3x-6y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x-6y-y=-3+10$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-y=-3+10$$

Suma -6y a -y.

$$-7y=-3+10$$

Suma -3 a 10.

$$-7y=7$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -3x+y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-1=-10$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$