Resolver {c}{4x-y=12}{2x+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{31}{14} = 2\frac{3}{14} \approx 2.214285714$$

$$y = -\frac{22}{7} = -3\frac{1}{7} \approx -3.142857143$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=12,2x+3y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=12$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y+12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+12.

$$x=\frac{1}{4}y+3$$

Substitúe x por \frac{y}{4}+3 na outra ecuación, 2x+3y=-5.

$$2\left(\frac{1}{4}y+3\right)+3y=-5$$

Multiplica 2 por \frac{y}{4}+3.

$$\frac{1}{2}y+6+3y=-5$$

Suma \frac{y}{2} a 3y.

$$\frac{7}{2}y+6=-5$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=-11$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{22}{7}$$

Substitúe y por -\frac{22}{7} en x=\frac{1}{4}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\left(-\frac{22}{7}\right)+3$$

Multiplica \frac{1}{4} por -\frac{22}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{14}+3$$

Suma 3 a -\frac{11}{14}.

$$x=\frac{31}{14}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{31}{14},y=-\frac{22}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=12,2x+3y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 12+\frac{1}{14}\left(-5\right)\\-\frac{1}{7}\times 12+\frac{2}{7}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{14}\\-\frac{22}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{31}{14},y=-\frac{22}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=12,2x+3y=-5$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 12,4\times 2x+4\times 3y=4\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$8x-2y=24,8x+12y=-20$$

Resta 8x+12y=-20 de 8x-2y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-2y-12y=24+20$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-12y=24+20$$

Suma -2y a -12y.

$$-14y=24+20$$

Suma 24 a 20.

$$-14y=44$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{22}{7}$$

Substitúe y por -\frac{22}{7} en 2x+3y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-\frac{22}{7}\right)=-5$$

Multiplica 3 por -\frac{22}{7}.

$$2x-\frac{66}{7}=-5$$

Suma \frac{66}{7} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{31}{7}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{31}{14}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{31}{14},y=-\frac{22}{7}$$