Resolver {c}{4x-y=-9}{2x+2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=-9$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y-9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y-9.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}$$

Substitúe x por \frac{-9+y}{4} na outra ecuación, 2x+2y=-2.

$$2\left(\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}\right)+2y=-2$$

Multiplica 2 por \frac{-9+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+2y=-2$$

Suma \frac{y}{2} a 2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=-2$$

Suma \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1-9}{4}$$

Suma -\frac{9}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Para que 4x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(-9\right),4\times 2x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$8x-2y=-18,8x+8y=-8$$

Resta 8x+8y=-8 de 8x-2y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-2y-8y=-18+8$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-8y=-18+8$$

Suma -2y a -8y.

$$-10y=-18+8$$

Suma -18 a 8.

$$-10y=-10$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 2x+2y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2=-2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=1$$