Resolver {c}{300x+200y=2400}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 300 x + 200 y = 2400 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$300x+200y=2400$$

Resta 200y en ambos lados da ecuación.

$$300x=-200y+2400$$

Divide ambos lados entre 300.

$$x=\frac{1}{300}\left(-200y+2400\right)$$

Multiplica \frac{1}{300} por -200y+2400.

$$x=-\frac{2}{3}y+8$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}+8 na outra ecuación, x+y=10.

$$-\frac{2}{3}y+8+y=10$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y+8=10$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=2$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{2}{3}y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+8$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 6.

$$x=-4+8$$

Suma 8 a -4.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&200\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{300-200}&-\frac{200}{300-200}\\-\frac{1}{300-200}&\frac{300}{300-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-2\\-\frac{1}{100}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2400\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 2400-2\times 10\\-\frac{1}{100}\times 2400+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$300x+200y=2400,x+y=10$$

Para que 300x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 300.

$$300x+200y=2400,300x+300y=300\times 10$$

Simplifica.

$$300x+200y=2400,300x+300y=3000$$

Resta 300x+300y=3000 de 300x+200y=2400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$300x-300x+200y-300y=2400-3000$$

Suma 300x a -300x. 300x e -300x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$200y-300y=2400-3000$$

Suma 200y a -300y.

$$-100y=2400-3000$$

Suma 2400 a -3000.

$$-100y=-600$$

Divide ambos lados entre -100.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+6=10$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=6$$