Resolver {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y+5x=12$$

Resta 5x en ambos lados da ecuación.

$$2y=-5x+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Substitúe y por -\frac{5x}{2}+6 na outra ecuación, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Multiplica -6 por -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Suma 15x a -2x.

$$13x-36=-24$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$13x=12$$

Divide ambos lados entre 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

Substitúe x por \frac{12}{13} en y=-\frac{5}{2}x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Multiplica -\frac{5}{2} por \frac{12}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Suma 6 a -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Para que 2y e -6y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Simplifica.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Resta -12y-4x=-48 de -12y-30x=-72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Suma -12y a 12y. -12y e 12y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30x+4x=-72+48$$

Suma -30x a 4x.

$$-26x=-72+48$$

Suma -72 a 48.

$$-26x=-24$$

Divide ambos lados entre -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

Substitúe x por \frac{12}{13} en -6y-2x=-24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Multiplica -2 por \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Suma \frac{24}{13} en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$