Resolver {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+13}{2} na outra ecuación, -6x+y=11.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Multiplica -6 por \frac{-3y+13}{2}.

$$9y-39+y=11$$

Suma 9y a y.

$$10y-39=11$$

Suma 39 en ambos lados da ecuación.

$$10y=50$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Suma \frac{13}{2} a -\frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Para que 2x e -6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

Simplifica.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

Resta -12x+2y=22 de -12x-18y=-78 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y-2y=-78-22$$

Suma -18y a -2y.

$$-20y=-78-22$$

Suma -78 a -22.

$$-20y=-100$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en -6x+y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-6x+5=11$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$