\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { - x + 4 y = - 28 } \end{array} \right.
Resolver x, y
x=8
y=-5
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
2x+3y=1,-x+4y=-28
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
2x+3y=1
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
2x=-3y+1
Resta 3y en ambos lados da ecuación.
x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)
Divide ambos lados entre 2.
x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}
Multiplica \frac{1}{2} por -3y+1.
-\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y=-28
Substitúe x por \frac{-3y+1}{2} na outra ecuación, -x+4y=-28.
\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}+4y=-28
Multiplica -1 por \frac{-3y+1}{2}.
\frac{11}{2}y-\frac{1}{2}=-28
Suma \frac{3y}{2} a 4y.
\frac{11}{2}y=-\frac{55}{2}
Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.
y=-5
Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
x=-\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}
Substitúe y por -5 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{15+1}{2}
Multiplica -\frac{3}{2} por -5.
x=8
Suma \frac{1}{2} a \frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.
x=8,y=-5
O sistema xa funciona correctamente.
2x+3y=1,-x+4y=-28
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2\times 4-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 4-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 4-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}-\frac{3}{11}\left(-28\right)\\\frac{1}{11}+\frac{2}{11}\left(-28\right)\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=8,y=-5
Extrae os elementos da matriz x e y.
2x+3y=1,-x+4y=-28
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
-2x-3y=-1,2\left(-1\right)x+2\times 4y=2\left(-28\right)
Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.
-2x-3y=-1,-2x+8y=-56
Simplifica.
-2x+2x-3y-8y=-1+56
Resta -2x+8y=-56 de -2x-3y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
-3y-8y=-1+56
Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
-11y=-1+56
Suma -3y a -8y.
-11y=55
Suma -1 a 56.
y=-5
Divide ambos lados entre -11.
-x+4\left(-5\right)=-28
Substitúe y por -5 en -x+4y=-28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
-x-20=-28
Multiplica 4 por -5.
-x=-8
Suma 20 en ambos lados da ecuación.
x=8
Divide ambos lados entre -1.
x=8,y=-5
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}