Resolver {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Resta 2x en ambos lados.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Combina 6x e -2x para obter 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Engadir 10y en ambos lados.

$$4x-2y+10y=-64$$

Combina -2y e 10y para obter 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-2y=6$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+8y=-64$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-8y-64$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -8y-64.

$$x=-2y-16$$

Substitúe x por -2y-16 na outra ecuación, 9x-2y=6.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=6$$

Multiplica 9 por -2y-16.

$$-18y-144-2y=6$$

Suma -18y a -2y.

$$-20y-144=6$$

Suma 144 en ambos lados da ecuación.

$$-20y=150$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=-\frac{15}{2}$$

Substitúe y por -\frac{15}{2} en x=-2y-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{15}{2}\right)-16$$

Multiplica -2 por -\frac{15}{2}.

$$x=15-16$$

Suma -16 a 15.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Resta 2x en ambos lados.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Combina 6x e -2x para obter 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Engadir 10y en ambos lados.

$$4x-2y+10y=-64$$

Combina -2y e 10y para obter 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-2y=6$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 6\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Resta 2x en ambos lados.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Combina 6x e -2x para obter 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Engadir 10y en ambos lados.

$$4x-2y+10y=-64$$

Combina -2y e 10y para obter 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-2y=6$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Para que 4x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 6$$

Simplifica.

$$36x+72y=-576,36x-8y=24$$

Resta 36x-8y=24 de 36x+72y=-576 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36x-36x+72y+8y=-576-24$$

Suma 36x a -36x. 36x e -36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$72y+8y=-576-24$$

Suma 72y a 8y.

$$80y=-576-24$$

Suma -576 a -24.

$$80y=-600$$

Divide ambos lados entre 80.

$$y=-\frac{15}{2}$$

Substitúe y por -\frac{15}{2} en 9x-2y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-2\left(-\frac{15}{2}\right)=6$$

Multiplica -2 por -\frac{15}{2}.

$$9x+15=6$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$9x=-9$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$