Resolver {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=4$$

$$b=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$-2a+2b=2$$

Resta 2b en ambos lados da ecuación.

$$-2a=-2b+2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -2b+2.

$$a=b-1$$

Substitúe a por b-1 na outra ecuación, 3a-2b=2.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

Multiplica 3 por b-1.

$$3b-3-2b=2$$

Suma 3b a -2b.

$$b-3=2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en a=b-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=5-1$$

Suma -1 a 5.

$$a=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=4,b=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=4,b=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Para que -2a e 3a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

Simplifica.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

Resta -6a+4b=-4 de -6a+6b=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

Suma -6a a 6a. -6a e 6a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6b-4b=6+4$$

Suma 6b a -4b.

$$2b=6+4$$

Suma 6 a 4.

$$2b=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en 3a-2b=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$3a-2\times 5=2$$

Multiplica -2 por 5.

$$3a-10=2$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$3a=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=4,b=5$$