Resolver ∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

Calcular

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

Pasos da solución

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x-1.

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Aplicar a propiedade distributiva multiplicando cada termo de x^{2}-x por cada termo de x+2.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica -2 por \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{64}{3}$$