Resolver ∫ x(2+x)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+x\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 4+4x+x^{2}.

$$\int 4x+4x^{2}+x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica 4 por \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 4 por \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Simplifica.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}$$

Se F\left(x\right) é a primitiva de f\left(x\right), entón o conxunto de todas as primitivas de f\left(x\right) ven dado por F\left(x\right)+C. Entón, engade a constante de integración C\in \mathrm{R} ao resultado.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$x\left(x+2\right)^{2}$$