Resolver ∫ (from 2 to 3) of (x^2-2x)^2 wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{38}{15}\approx 2.533333333$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$\int _{2}^{3}\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$\int _{2}^{3}x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes. Suma 2 e 1 para obter 3.

$$\int _{2}^{3}x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int x^{4}-4x^{3}+4x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -4x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-4\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-4\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica -4 por \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+4\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 4 por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}$$

Simplifica.

$$\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{4}{3}\times 3^{3}-3^{4}+\frac{3^{5}}{5}-\left(\frac{4}{3}\times 2^{3}-2^{4}+\frac{2^{5}}{5}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{38}{15}$$