Resolver ∫ (from 1 to 5) of 27t^3+162t^2+324t+216dt

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } 27 t ^ { 3 } + 162 t ^ { 2 } + 324 t + 216 d t$$

Calcular

$$15660$$

Pasos da solución

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int 27t^{3}+162t^{2}+324t+216\mathrm{d}t$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int 27t^{3}\mathrm{d}t+\int 162t^{2}\mathrm{d}t+\int 324t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$27\int t^{3}\mathrm{d}t+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Posto que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int t^{3}\mathrm{d}t por \frac{t^{4}}{4}. Multiplica 27 por \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Posto que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int t^{2}\mathrm{d}t por \frac{t^{3}}{3}. Multiplica 162 por \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Posto que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int t\mathrm{d}t por \frac{t^{2}}{2}. Multiplica 324 por \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+\int 216\mathrm{d}t$$

Descubre a integral de 216 empregando a táboa de integrais comúns regra \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+216t$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{27}{4}\times 5^{4}+54\times 5^{3}+162\times 5^{2}+216\times 5-\left(\frac{27}{4}\times 1^{4}+54\times 1^{3}+162\times 1^{2}+216\times 1\right)$$

Simplifica.

$$15660$$