Resolver ∫ (from 0 to 3) of (9-x^2)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( 9 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Calcular

$$\frac{648}{5}=129.6$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-x^{2}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int 81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int 81\mathrm{d}x+\int -18x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int 81\mathrm{d}x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Descubre a integral de 81 empregando a táboa de integrais comúns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$81x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica -18 por \frac{x^{3}}{3}.

$$81x-6x^{3}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}.

$$81x-6x^{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{3^{5}}{5}-6\times 3^{3}+81\times 3-\left(\frac{0^{5}}{5}-6\times 0^{3}+81\times 0\right)$$

Simplifica.

$$\frac{648}{5}$$