Resolver ∫ (from 0 to 1) of (2x-1)^2 wrt x=

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } d x =$$

Calcular

$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 4 por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica -4 por \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Descubre a integral de 1 empregando a táboa de integrais comúns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}-2\times 1^{2}+1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{2}+0\right)$$

Simplifica.

$$\frac{1}{3}$$