Resolver ∫ (from - 3 to - 1) of (1/x^2-1/x^3) wrt x

$$\int _ { - 3 } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ) d x$$

Calcular

$$\frac{10}{9}\approx 1.111111111$$

Pasos da solución

Calcula a integral indefinida primeiro.

$$\int \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x por -\frac{1}{x}.

$$-\frac{1}{x}-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x por -\frac{1}{2x^{2}}. Multiplica -1 por -\frac{1}{2x^{2}}.

$$-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}$$

Simplifica.

$$\frac{\frac{1}{2}-x}{x^{2}}$$

A integral definida é a primitiva da expresión calculada no límite superior de integración menos a primitiva calculada no límite inferior de integración.

$$\left(\frac{1}{2}-\left(-1\right)\right)\left(-1\right)^{-2}-\left(\frac{1}{2}-\left(-3\right)\right)\left(-3\right)^{-2}$$

Simplifica.

$$\frac{10}{9}$$