Resolver ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

Calcular

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

Pasos da solución

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} para expandir \left(x-1\right)^{3}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina -3x^{2} e x^{2} para obter -2x^{2}.

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Suma -1 e 1 para obter 0.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 4-x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x-x^{2} por 4+x e combina os termos semellantes.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina x e 16x para obter 17x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Eleva 8-x-x^{2} ao cadrado.

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina -2x^{2} e -15x^{2} para obter -17x^{2}.

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Combina 17x e -16x para obter x.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2} por 17-x^{2}.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Combina -17x^{2} e 17x^{2} para obter 0.

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

Combina x^{4} e -x^{4} para obter 0.

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Combina x e -x para obter 0.

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica 2 por \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

Descubre a integral de 64 empregando a táboa de integrais comúns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

Se F\left(x\right) é a primitiva de f\left(x\right), entón o conxunto de todas as primitivas de f\left(x\right) ven dado por F\left(x\right)+C. Entón, engade a constante de integración C\in \mathrm{R} ao resultado.

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$2\left(x^{3}+32\right)$$