Resolver ∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

Calcular

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Pasos da solución

Factoriza as expresións que aínda non o están en \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}.

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

Anula x^{2}+x+1 no numerador e no denominador.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integrar o termo da suma por termo.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Factorizar a constante en cada termo.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Posto que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} por k\neq -1, substituír \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}. Multiplica -1 por \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Descubre a integral de 1 empregando a táboa de integrais comúns regra \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Simplifica.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Se F\left(x\right) é a primitiva de f\left(x\right), entón o conxunto de todas as primitivas de f\left(x\right) ven dado por F\left(x\right)+C. Entón, engade a constante de integración C\in \mathrm{R} ao resultado.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$x^{2}-x+1$$