Resolver d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Calcular

$$\cos(x)$$

Pasos que usan a definición dunha derivada

Para unha función f\left(x\right), a derivada é o límite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} cando h vai a 0, se ese límite existe.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Usa a fórmula de suma para o seno.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Factoriza \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Reescribe o límite.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Usa o feito de que x é unha constante ao calcular os límites cando h vai a 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

O límite \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Para calcular o límite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, primeiro multiplica o numerador e o denominador por \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplica \cos(h)+1 por \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Usa a identidade pitagórica.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Reescribe o límite.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

O límite \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Usa o feito de que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} é continuo en 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substitúe o valor 0 na expresión \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Diferenciar w.r.t. x

$$-\sin(x)$$