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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
Para unha función f\left(x\right), a derivada é o límite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} cando h vai a 0, se ese límite existe.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
Usa a fórmula de suma para o seno.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Factoriza \sin(x).
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Reescribe o límite.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Usa o feito de que x é unha constante ao calcular os límites cando h vai a 0.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
O límite \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Para calcular o límite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, primeiro multiplica o numerador e o denominador por \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Multiplica \cos(h)+1 por \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Usa a identidade pitagórica.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Reescribe o límite.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
O límite \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} é 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Usa o feito de que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} é continuo en 0.
\cos(x)
Substitúe o valor 0 na expresión \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).