Resolver x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Resolver x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -\frac{1}{2},1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), o mínimo común denominador de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica x-1 e x-1 para obter \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica 2x+1 e 2x+1 para obter \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 e combina os termos semellantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} e 6x^{2} para obter 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x e -3x para obter x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Resta 10x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} e -10x^{2} para obter -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Resta x en ambos lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x e -x para obter -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Suma 1 e 2 para obter 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -9, b por -3 e c por 3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva -3 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica -4 por -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica 36 por 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Suma 9 a 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

O contrario de -3 é 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica 2 por -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} se ± é máis. Suma 3 a 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Divide 3+3\sqrt{13} entre -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} se ± é menos. Resta 3\sqrt{13} de 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Divide 3-3\sqrt{13} entre -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -\frac{1}{2},1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), o mínimo común denominador de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica x-1 e x-1 para obter \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica 2x+1 e 2x+1 para obter \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 e combina os termos semellantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} e 6x^{2} para obter 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x e -3x para obter x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Resta 10x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} e -10x^{2} para obter -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Resta x en ambos lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x e -x para obter -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Resta 1 en ambos lados.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Resta 1 de -2 para obter -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Divide ambos lados entre -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

A división entre -9 desfai a multiplicación por -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Reduce a fracción \frac{-3}{-9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Reduce a fracción \frac{-3}{-9} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divide \frac{1}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{6}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{1}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Factoriza x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Resta \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$