Resolver x+3/x+x/x-2=5

$$\frac{ x+3 }{ x } + \frac{ x }{ x-2 } = 5$$

Resolver x

$$x=3$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-2\right), o mínimo común denominador de x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+xx=5x\left(x-2\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x+3 e combina os termos semellantes.

$$x^{2}+x-6+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-6=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x-2.

$$2x^{2}+x-6=5x^{2}-10x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}+x-6-5x^{2}=-10x$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+x-6=-10x$$

Engadir 10x en ambos lados.

$$-3x^{2}+x-6+10x=0$$

Combina x e 10x para obter 11x.

$$-3x^{2}+11x-6=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -3x^{2}+ax+bx-6. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=11 ab=-3\left(-6\right)=18$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 11.

$$a=9 b=2$$

Reescribe -3x^{2}+11x-6 como \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$3x\left(-x+3\right)-2\left(-x+3\right)$$

Factoriza o termo común -x+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(3x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+3=0 e 3x-2=0.

$$x=3 x=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-2\right), o mínimo común denominador de x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+xx=5x\left(x-2\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x+3 e combina os termos semellantes.

$$x^{2}+x-6+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-6=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x-2.

$$2x^{2}+x-6=5x^{2}-10x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}+x-6-5x^{2}=-10x$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+x-6=-10x$$

Engadir 10x en ambos lados.

$$-3x^{2}+x-6+10x=0$$

Combina x e 10x para obter 11x.

$$-3x^{2}+11x-6=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -3, b por 11 e c por -6 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\left(-6\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\left(-6\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+12\left(-6\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por -6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 121 a -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{-11±7}{-6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±7}{-6} se ± é máis. Suma -11 a 7.

$$x=-\frac{4}{-6}$$

Reduce a fracción \frac{-4}{-6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±7}{-6} se ± é menos. Resta 7 de -11.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divide -18 entre -6.

$$x=3$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{2}{3} x=3$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-2\right), o mínimo común denominador de x,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+xx=5x\left(x-2\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x+3\right)+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x+3 e combina os termos semellantes.

$$x^{2}+x-6+x^{2}=5x\left(x-2\right)$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-6=5x\left(x-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x-2.

$$2x^{2}+x-6=5x^{2}-10x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}+x-6-5x^{2}=-10x$$

Combina 2x^{2} e -5x^{2} para obter -3x^{2}.

$$-3x^{2}+x-6=-10x$$

Engadir 10x en ambos lados.

$$-3x^{2}+x-6+10x=0$$

Combina x e 10x para obter 11x.

$$-3x^{2}+11x-6=0$$

Engadir 6 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-3x^{2}+11x=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$\frac{-3x^{2}+11x}{-3}=\frac{6}{-3}$$

A división entre -3 desfai a multiplicación por -3.

$$x^{2}+\frac{11}{-3}x=\frac{6}{-3}$$

Divide 11 entre -3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=\frac{6}{-3}$$

Divide 6 entre -3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=-2$$

Divide -\frac{11}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-2+\frac{121}{36}$$

Suma -2 a \frac{121}{36}.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{49}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{7}{6}$$

Suma \frac{11}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=3 x=\frac{2}{3}$$