Resolver frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Resolver b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Pasos para resolver ecuacións radicais

Racionaliza o denominador de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Considera \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleva 2 ao cadrado. Eleva \sqrt{5} ao cadrado.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 5 de 4 para obter -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplica 2+\sqrt{5} e 2+\sqrt{5} para obter \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

O cadrado de \sqrt{5} é 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Suma 4 e 5 para obter 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Calquera número dividido entre -1 ten como resultado o seu contrario. Para calcular o oposto de 9+4\sqrt{5}, calcula o oposto de cada termo.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionaliza o denominador de \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Considera \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleva 2 ao cadrado. Eleva \sqrt{5} ao cadrado.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 5 de 4 para obter -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplica 2-\sqrt{5} e 2-\sqrt{5} para obter \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

O cadrado de \sqrt{5} é 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Suma 4 e 5 para obter 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Calquera número dividido entre -1 ten como resultado o seu contrario. Para calcular o oposto de 9-4\sqrt{5}, calcula o oposto de cada termo.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 9 de -9 para obter -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Combina -4\sqrt{5} e 4\sqrt{5} para obter 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Resta a en ambos lados.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Resolver a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$