Resolver x/x^2-100+2/10-x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 100 } + \frac { 2 } { 10 - x }$$

Calcular

$$\frac{x+20}{100-x^{2}}$$

Pasos de solución curta

Factoriza x^{2}-100.

$$\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2}{10-x}$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. O mínimo común múltiplo de \left(x-10\right)\left(x+10\right) e 10-x é \left(x-10\right)\left(x+10\right). Multiplica \frac{2}{10-x} por \frac{-\left(x+10\right)}{-\left(x+10\right)}.

$$\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Dado que \frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} e \frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\frac{x+2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Fai as multiplicacións en x+2\left(-1\right)\left(x+10\right).

$$\frac{x-2x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Combina como termos en x-2x-20.

$$\frac{-x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Expande \left(x-10\right)\left(x+10\right).

$$\frac{-x-20}{x^{2}-100}$$

Diferenciar w.r.t. x

$$\frac{x^{2}+40x+100}{\left(100-x^{2}\right)^{2}}$$

Pasos que usan a regra de derivada para cociente

Factoriza x^{2}-100.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2}{10-x})$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. O mínimo común múltiplo de \left(x-10\right)\left(x+10\right) e 10-x é \left(x-10\right)\left(x+10\right). Multiplica \frac{2}{10-x} por \frac{-\left(x+10\right)}{-\left(x+10\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Dado que \frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} e \frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Fai as multiplicacións en x+2\left(-1\right)\left(x+10\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-2x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Combina como termos en x-2x-20.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Considera \left(x-10\right)\left(x+10\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 10 ao cadrado.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-x-20}{x^{2}-100})$$

Para dúas funcións diferenciables calquera, a derivada do cociente de dúas funcións é o denominador multiplicado pola derivada do numerador menos o numerador multiplicado pola derivada do denominador, e todo dividido polo denominador ao cadrado.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^{1}-20)-\left(-x^{1}-20\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-100)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

A derivada dun polinomio é a suma das derivadas dos seus termos. A derivada de calquera termo constante é 0. A derivada de ax^{n} é nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\left(-1\right)x^{1-1}-\left(-x^{1}-20\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Fai o cálculo.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{1}-20\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Expande usando a propiedade distributiva.

$$\frac{x^{2}\left(-1\right)x^{0}-100\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{1}\times 2x^{1}-20\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Para multiplicar potencias da mesma base, suma os seus expoñentes.

$$\frac{-x^{2}-100\left(-1\right)x^{0}-\left(-2x^{1+1}-20\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Fai o cálculo.

$$\frac{-x^{2}+100x^{0}-\left(-2x^{2}-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Elimina parénteses innecesarias.

$$\frac{-x^{2}+100x^{0}-\left(-2x^{2}\right)-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Combina termos semellantes.

$$\frac{\left(-1-\left(-2\right)\right)x^{2}+100x^{0}-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Resta -2 de -1.

$$\frac{x^{2}+100x^{0}-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Para calquera termo t, t^{1}=t.

$$\frac{x^{2}+100x^{0}-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Para calquera termo t agás 0, t^{0}=1.

$$\frac{x^{2}+100\times 1-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Para calquera termo t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{x^{2}+100-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$