Resolver x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Resolver x

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Suma 18 e 27 para obter 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Resta 6x en ambos lados.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x para obter -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Resta 45 en ambos lados.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-45. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -9.

$$a=-15 b=6$$

Reescribe 2x^{2}-9x-45 como \left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Factoriza x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Factoriza o termo común 2x-15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-15=0 e x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Suma 18 e 27 para obter 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Resta 6x en ambos lados.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x para obter -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Resta 45 en ambos lados.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -9 e c por -45 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Suma 81 a 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

O contrario de -9 é 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±21}{4} se ± é máis. Suma 9 a 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Reduce a fracción \frac{30}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±21}{4} se ± é menos. Resta 21 de 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Divide -12 entre 4.

$$x=-3$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Suma 18 e 27 para obter 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Resta 6x en ambos lados.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combina -3x e -6x para obter -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Engadir x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x=45$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Divide -\frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{9}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{9}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Suma \frac{45}{2} a \frac{81}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Suma \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=\frac{15}{2}$$