Resolver x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Resolver x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 6x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en ambos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en ambos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+6. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=2 b=-3$$

Reescribe -x^{2}-x+6 como \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Factoriza x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Factoriza o termo común -x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+2=0 e x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 6x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en ambos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en ambos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por -1 e c por 6 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 1 a 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±5}{-2} se ± é máis. Suma 1 a 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divide 6 entre -2.

$$x=-3$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±5}{-2} se ± é menos. Resta 5 de 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divide -4 entre -2.

$$x=2$$

A ecuación está resolta.

$$x=-3 x=2$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 6x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} e 6x^{2} para obter 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en ambos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} e -13x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en ambos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x e -13x para obter -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-x^{2}-x=-6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Divide -1 entre -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Divide -6 entre -1.

$$x^{2}+x=6$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Suma 6 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=-3$$