Resolver x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Resolver x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 21, o mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+7y=105$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-7y+105$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substitúe x por -\frac{7y}{3}+35 na outra ecuación, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplica -1 por -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Suma \frac{7y}{3} a 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{133}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-\frac{7}{3}y+35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplica -\frac{7}{3} por 9.

$$x=-21+35$$

Suma 35 a -21.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=9$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 21, o mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=14,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 21, o mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Para que 3x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplifica.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Resta -3x+126y=1092 de -3x-7y=-105 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Suma -7y a -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Suma -105 a -1092.

$$-133y=-1197$$

Divide ambos lados entre -133.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en -x+42y=364. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplica 42 por 9.

$$-x+378=364$$

Resta 378 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-14$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=9$$