Resolver x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substitúe x por \frac{5y}{4} na outra ecuación, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Suma -\frac{5y}{4} a y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplica ambos lados por -4.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en x=\frac{5}{4}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplica \frac{5}{4} por 12.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=12$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Resta 5y en ambos lados.

$$4x-5y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$y=x-3$$

Resta x en ambos lados.

$$y-x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=12$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Resta 5y en ambos lados.

$$4x-5y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$y=x-3$$

Resta x en ambos lados.

$$y-x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Para que 4x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Resta -4x+4y=-12 de -4x+5y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-4y=12$$

Suma 5y a -4y.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en -x+y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+12=-3$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-15$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=12$$