Resolver x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Resolver x

$$x=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -9,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+9\right), o mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en ambos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en ambos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

A solución é a parella que fornece a suma -6.

$$a=-3 b=-3$$

Reescribe x^{2}-6x+9 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factoriza x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Factoriza o termo común x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve x-3=0.

$$x=3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -9,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+9\right), o mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en ambos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en ambos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9, b por -54 e c por 81 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Eleva -54 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Suma 2916 a -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

O contrario de -54 é 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divide 54 entre 18.

$$x=3$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -9,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+9\right), o mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 e x+9 para obter \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 16 para obter 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en ambos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} e -8x^{2} para obter 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en ambos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x e -72x para obter -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Resta 81 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Divide ambos lados entre 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

A división entre 9 desfai a multiplicación por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Divide -54 entre 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Divide -81 entre 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divide -6, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -3. Despois, suma o cadrado de -3 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 ao cadrado.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Suma -9 a 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factoriza x^{2}-6x+9. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-3=0 x-3=0$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=3 x=3$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=3$$