Resolver f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

Resolver f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 33, o mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Divide ambos lados entre 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substitúe f por \frac{g}{3} na outra ecuación, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Suma \frac{g}{3} a g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$g=30$$

Substitúe g por 30 en f=\frac{1}{3}g. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar f directamente.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplica \frac{1}{3} por 30.

$$f=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$f=10,g=30$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 33, o mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Resta g en ambos lados.

$$3f-g=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz f e g.

$$f=10,g=30$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 33, o mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Resta g en ambos lados.

$$3f-g=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Para que 3f e f sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplifica.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Resta 3f+3g=120 de 3f-g=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Suma 3f a -3f. 3f e -3f anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-g-3g=-120$$

Suma -g a -3g.

$$-4g=-120$$

Divide ambos lados entre -4.

$$g=30$$

Substitúe g por 30 en f+g=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar f directamente.

$$f+30=40$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$f=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$f=10,g=30$$