Resolver 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Resolver x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en ambos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+4500. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

A solución é a parella que fornece a suma -15.

$$a=60 b=-75$$

Reescribe -x^{2}-15x+4500 como \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Factoriza x no primeiro e 75 no grupo segundo.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Factoriza o termo común -x+60 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+60=0 e x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en ambos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por -15 e c por 4500 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -15 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 225 a 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

O contrario de -15 é 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{15±135}{-2} se ± é máis. Suma 15 a 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Divide 150 entre -2.

$$x=-75$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{15±135}{-2} se ± é menos. Resta 135 de 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Divide -120 entre -2.

$$x=60$$

A ecuación está resolta.

$$x=-75 x=60$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 75 para obter 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x e 15x para obter 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en ambos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x e -315x para obter -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Resta 4500 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Divide -15 entre -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Divide -4500 entre -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divide 15, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{15}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Suma 4500 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Factoriza x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=60 x=-75$$