Resolver 7.5/x=7.5/x+15+1/4

$$\frac { 7.5 } { x } = \frac { 7.5 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Resolver x

$$x=-30$$

$$x=15$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 7.5 para obter 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Combina 30x e 15x para obter 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

Resta 45x en ambos lados.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Combina 30x e -45x para obter -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+450. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-15 ab=-450=-450$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -450.

$$1,-450 2,-225 3,-150 5,-90 6,-75 9,-50 10,-45 15,-30 18,-25$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-450=-449 2-225=-223 3-150=-147 5-90=-85 6-75=-69 9-50=-41 10-45=-35 15-30=-15 18-25=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -15.

$$a=15 b=-30$$

Reescribe -x^{2}-15x+450 como \left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right)$$

Factoriza x no primeiro e 30 no grupo segundo.

$$x\left(-x+15\right)+30\left(-x+15\right)$$

Factoriza o termo común -x+15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+15\right)\left(x+30\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+15=0 e x+30=0.

$$x=15 x=-30$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 7.5 para obter 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Combina 30x e 15x para obter 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

Resta 45x en ambos lados.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Combina 30x e -45x para obter -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por -15 e c por 450 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -15 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 450.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+1800}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 225 a 1800.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{2025}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 2025.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±45}{2\left(-1\right)}$$

O contrario de -15 é 15.

$$x=\frac{15±45}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{15±45}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{15±45}{-2} se ± é máis. Suma 15 a 45.

$$x=\frac{60}{-2}$$

Divide 60 entre -2.

$$x=-30$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{15±45}{-2} se ± é menos. Resta 45 de 15.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

Divide -30 entre -2.

$$x=15$$

A ecuación está resolta.

$$x=-30 x=15$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -15,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4x\left(x+15\right), o mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4x+60 por 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e 7.5 para obter 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 e \frac{1}{4} para obter 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Combina 30x e 15x para obter 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

Resta 45x en ambos lados.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Combina 30x e -45x para obter -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

Resta 450 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-15x-x^{2}=-450$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-450$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{450}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{450}{-1}$$

Divide -15 entre -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{450}{-1}$$

Divide -450 entre -1.

$$x^{2}+15x=450$$

Divide 15, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{15}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=450+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=450+\frac{225}{4}$$

Suma 450 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{2025}{4}$$

Factoriza x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{45}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{45}{2}$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=15 x=-30$$