Resolver frac{5+2sqrt{3}}{7+4sqrt{5}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 5 + 2 \sqrt { 3 } } { 7 + 4 \sqrt { 5 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Resolver b

$$b=-\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{20\sqrt{15}}{93}+\frac{24\sqrt{5}}{93}-\frac{35\sqrt{3}}{93}-\frac{14}{31}$$

Pasos para resolver unha ecuación lineal

Racionaliza o denominador de \frac{5+2\sqrt{3}}{7+4\sqrt{5}} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por 7-4\sqrt{5}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{\left(7+4\sqrt{5}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considera \left(7+4\sqrt{5}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{7^{2}-\left(4\sqrt{5}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Calcula 7 á potencia de 2 e obtén 49.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{49-\left(4\sqrt{5}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Expande \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{49-4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{49-16\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

O cadrado de \sqrt{5} é 5.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{49-16\times 5}=a+b\sqrt{3}$$

Multiplica 16 e 5 para obter 80.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{49-80}=a+b\sqrt{3}$$

Resta 80 de 49 para obter -31.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{5}\right)}{-31}=a+b\sqrt{3}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5+2\sqrt{3} por 7-4\sqrt{5}.

$$\frac{35-20\sqrt{5}+14\sqrt{3}-8\sqrt{3}\sqrt{5}}{-31}=a+b\sqrt{3}$$

Para multiplicar \sqrt{3} e \sqrt{5}, multiplica os números baixo a raíz cadrada.

$$\frac{35-20\sqrt{5}+14\sqrt{3}-8\sqrt{15}}{-31}=a+b\sqrt{3}$$

Multiplica o numerador e o denominador por -1.

$$\frac{-35+20\sqrt{5}-14\sqrt{3}+8\sqrt{15}}{31}=a+b\sqrt{3}$$

Divide cada termo de -35+20\sqrt{5}-14\sqrt{3}+8\sqrt{15} entre 31 para obter -\frac{35}{31}+\frac{20}{31}\sqrt{5}-\frac{14}{31}\sqrt{3}+\frac{8}{31}\sqrt{15}.

$$-\frac{35}{31}+\frac{20}{31}\sqrt{5}-\frac{14}{31}\sqrt{3}+\frac{8}{31}\sqrt{15}=a+b\sqrt{3}$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+b\sqrt{3}=-\frac{35}{31}+\frac{20}{31}\sqrt{5}-\frac{14}{31}\sqrt{3}+\frac{8}{31}\sqrt{15}$$

Resta a en ambos lados.

$$b\sqrt{3}=-\frac{35}{31}+\frac{20}{31}\sqrt{5}-\frac{14}{31}\sqrt{3}+\frac{8}{31}\sqrt{15}-a$$

A ecuación está en forma estándar.

$$\sqrt{3}b=-a+\frac{8\sqrt{15}}{31}+\frac{20\sqrt{5}}{31}-\frac{14\sqrt{3}}{31}-\frac{35}{31}$$

Divide ambos lados entre \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+\frac{8\sqrt{15}}{31}+\frac{20\sqrt{5}}{31}-\frac{14\sqrt{3}}{31}-\frac{35}{31}}{\sqrt{3}}$$

A división entre \sqrt{3} desfai a multiplicación por \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+\frac{8\sqrt{15}}{31}+\frac{20\sqrt{5}}{31}-\frac{14\sqrt{3}}{31}-\frac{35}{31}}{\sqrt{3}}$$

Divide \frac{20\sqrt{5}}{31}-a+\frac{8\sqrt{15}}{31}-\frac{35}{31}-\frac{14\sqrt{3}}{31} entre \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-31a+8\sqrt{15}+20\sqrt{5}-14\sqrt{3}-35\right)}{93}$$

Resolver a

$$a=-\frac{\left(7-4\sqrt{5}\right)\left(-4\sqrt{15}b-7\sqrt{3}b+2\sqrt{3}+5\right)}{31}$$