Resolver 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Resolver x

$$x=2$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,6 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-6\right), o mínimo común denominador de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A solución é a parella que fornece a suma 14.

$$a=12 b=2$$

Reescribe -x^{2}+14x-24 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,6 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-6\right), o mínimo común denominador de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 14 e c por -24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 14 ao cadrado.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 196 a -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±10}{-2} se ± é máis. Suma -14 a 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divide -4 entre -2.

$$x=2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±10}{-2} se ± é menos. Resta 10 de -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divide -24 entre -2.

$$x=12$$

A ecuación está resolta.

$$x=2 x=12$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores 0,6 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x-6\right), o mínimo común denominador de x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-6 por 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combina 4x e x\times 4 para obter 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combina 8x e 6x para obter 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Engadir 24 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$14x-x^{2}=24$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Divide 14 entre -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Divide 24 entre -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Divide -14, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -7. Despois, suma o cadrado de -7 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Suma -24 a 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Factoriza x^{2}-14x+49. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifica.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=2$$