Resolver 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Resolver x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4.666666667$$

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,-2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcula o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combina os termos semellantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Resta 2 de 30 para obter 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -3x^{2}+ax+bx+28. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=6 b=-14$$

Reescribe -3x^{2}-8x+28 como \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 14 no grupo segundo.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Factoriza o termo común -x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+2=0 e 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,-2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcula o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combina os termos semellantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Resta 2 de 30 para obter 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -3, b por -8 e c por 28 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva -8 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 64 a 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

O contrario de -8 é 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{8±20}{-6} se ± é máis. Suma 8 a 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Reduce a fracción \frac{28}{-6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{8±20}{-6} se ± é menos. Resta 20 de 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Divide -12 entre -6.

$$x=2$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,-2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular o oposto de x^{2}+3x, calcula o oposto de cada termo.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 e combina os termos semellantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en ambos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} e -2x^{2} para obter -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en ambos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x e -5x para obter -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 30 en ambos lados.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Resta 30 de 2 para obter -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Divide ambos lados entre -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

A división entre -3 desfai a multiplicación por -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Divide -8 entre -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Divide -28 entre -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Divide \frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{4}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Suma \frac{28}{3} a \frac{16}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Factoriza x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$