Resolver 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Resolver x

$$x=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,-4,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcula o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combina 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Resta 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combina os termos semellantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combina -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Resta 8 en ambos lados.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Resta 8 de 2 para obter -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-6. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+6=7 2+3=5$$

A solución é a parella que fornece a suma 5.

$$a=3 b=2$$

Reescribe -x^{2}+5x-6 como \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Factoriza o termo común x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-3=0 e -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,-4,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcula o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combina 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Resta 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combina os termos semellantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combina -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Resta 8 en ambos lados.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Resta 8 de 2 para obter -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 5 e c por -6 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 25 a -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±1}{-2} se ± é máis. Suma -5 a 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divide -4 entre -2.

$$x=2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±1}{-2} se ± é menos. Resta 1 de -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divide -6 entre -2.

$$x=3$$

A ecuación está resolta.

$$x=2 x=3$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=3$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,-4,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+4 por 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Para calcular o oposto de 4x+16, calcula o oposto de cada termo.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combina 3x e -4x para obter -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Resta 16 de 18 para obter 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-4 e combina os termos semellantes.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Engadir 6x en ambos lados.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combina -x e 6x para obter 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Resta 2 en ambos lados.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Resta 2 de 8 para obter 6.

$$5x-x^{2}=6$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Divide 5 entre -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Divide 6 entre -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Divide -5, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Suma -6 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Factoriza x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=3 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=3$$