Resolver 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Resolver x

$$x=6$$

Pasos que usan factorización

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Suma 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Resta 3x en ambos lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Resta 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-8x+12 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=12$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Suma 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Resta 3x en ambos lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Resta 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescribe x^{2}-8x+12 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Factoriza x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Factoriza o termo común x-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Suma 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Resta 3x en ambos lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Resta 2 en ambos lados.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Resta 2 de 14 para obter 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -8 e c por 12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Eleva -8 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Suma 64 a -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

O contrario de -8 é 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{8±4}{2} se ± é máis. Suma 8 a 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divide 12 entre 2.

$$x=6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{8±4}{2} se ± é menos. Resta 4 de 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Divide 4 entre 2.

$$x=2$$

A ecuación está resolta.

$$x=6 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=6$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por 2x-5 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x para obter -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Suma 10 e 4 para obter 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+1 por x+2 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} para obter x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Resta 3x en ambos lados.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x para obter -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Resta 14 en ambos lados.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Resta 14 de 2 para obter -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Divide -8, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -4. Despois, suma o cadrado de -4 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Suma -12 a 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Factoriza x^{2}-8x+16. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifica.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$x=6 x=2$$

A variable x non pode ser igual que 2.

$$x=6$$