Resolver 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Resolver x

$$x=5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Suma 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Suma 6 e 4 para obter 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=5 b=-2$$

Reescribe -x^{2}+3x+10 como \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Factoriza -x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Factoriza o termo común x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-5=0 e -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

A variable x non pode ser igual que -2.

$$x=5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Suma 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Suma 6 e 4 para obter 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 3 e c por 10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 9 a 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±7}{-2} se ± é máis. Suma -3 a 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divide 4 entre -2.

$$x=-2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±7}{-2} se ± é menos. Resta 7 de -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divide -10 entre -2.

$$x=5$$

A ecuación está resolta.

$$x=-2 x=5$$

A variable x non pode ser igual que -2.

$$x=5$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,-1,1,2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), o mínimo común denominador de x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}+3x+2 por 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por x-1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x para obter 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Suma 4 e 2 para obter 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x^{2}-1 por 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Resta 6 en ambos lados.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Resta 6 de -4 para obter -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Divide 3 entre -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Divide -10 entre -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Divide -3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Suma 10 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factoriza x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=5 x=-2$$

A variable x non pode ser igual que -2.

$$x=5$$