Resolver 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Resolver x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,\frac{1}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combina os termos semellantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Engadir 10 en ambos lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Suma -6 e 10 para obter 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -15x^{2}+ax+bx+4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A solución é a parella que fornece a suma 28.

$$a=30 b=-2$$

Reescribe -15x^{2}+28x+4 como \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factoriza 15x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Factoriza o termo común -x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+2=0 e 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,\frac{1}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combina os termos semellantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Engadir 10 en ambos lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Suma -6 e 10 para obter 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -15, b por 28 e c por 4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Eleva 28 ao cadrado.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica -4 por -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica 60 por 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Suma 784 a 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica 2 por -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±32}{-30} se ± é máis. Suma -28 a 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Reduce a fracción \frac{4}{-30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±32}{-30} se ± é menos. Resta 32 de -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Divide -60 entre -30.

$$x=2$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -2,\frac{1}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, o mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x e 48x para obter 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obter -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 e combina os termos semellantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en ambos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x e -25x para obter 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Suma -10 e 6 para obter -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Divide ambos lados entre -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

A división entre -15 desfai a multiplicación por -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divide 28 entre -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divide -4 entre -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divide -\frac{28}{15}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{14}{15}. Despois, suma o cadrado de -\frac{14}{15} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{14}{15} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Suma \frac{4}{15} a \frac{196}{225} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Factoriza x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Suma \frac{14}{15} en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$