Resolver =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Factorizar

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Pasos da solución

Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente primeiro 20. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=\frac{1}{2}$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 20x^{4}+31x^{2}-9 entre 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 para obter 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente primeiro 10. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 entre 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 para obter 5x^{2}+9. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 5 por a, 0 por b e 9 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

O polinomio 5x^{2}+9 non está factorizado porque aínda que non ten ningunha raíz racional.

$$5x^{2}+9$$

Reescribe a expresión factorizada usando as raíces obtidas.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Calcular

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$