Réitigh 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Réitigh do r.

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Céimeanna ag úsáid an fhachtóirithe de réir na grúpála

Chun an chothromóid a réiteach, déan an taobh clé a fhachtóiriú de réir na grúpála. Ní mór an taobh clé a athscríobh mar 12r^{2}+ar+br-15 ar dtús. Chun a agus b a fháil, cumraigh córas lena réiteach.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Tá ab diúltach agus sin an fáth go bhfuil comharthaí urchomhairleacha ag a agus b. Tá a+b diúltach agus sin an fáth go bhfuil luach uimhriúil níos mó ag an uimhir dhiúltach ná ag an uimhir dhearfach. Liostaigh na péirí slánuimhreach ar fad a thugann an toradh -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Áirigh an tsuim do gach péire.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Is é an réiteach ná an péire a thugann an tsuim -11.

$$a=-20 b=9$$

Athscríobh 12r^{2}-11r-15 mar \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Fág 4r as an áireamh sa chead ghrúpa agus 3 sa dara grúpa.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Fág an téarma coitianta 3r-5 as an áireamh ag úsáid airí dháiligh.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Réitigh 3r-5=0 agus 4r+3=0 chun réitigh cothromóide a fháil.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as an bhFoirmle Chearnach

Is féidir gach cothromóid san fhoirm ax^{2}+bx+c=0 a réiteach ag baint úsáid as an bhfoirmle chearnach : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Tugann an fhoirmle chearnach dhá réiteach, ceann amháin nuair is suimiú é ± agus ceann eile nuair is dealú é.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Tá an chothromóid seo i bhfoirm chaighdeánach: ax^{2}+bx+c=0. Cuir 12 in ionad a, -11 in ionad b, agus -15 in ionad c san fhoirmle chearnach, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Cearnóg -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Méadaigh -4 faoi 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Méadaigh -48 faoi -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Suimigh 121 le 720?

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Tóg fréamh chearnach 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Tá 11 urchomhairleach le -11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Méadaigh 2 faoi 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Réitigh an chothromóid r=\frac{11±29}{24} nuair is ionann ± agus plus. Suimigh 11 le 29?

$$r=\frac{40}{24}$$

Laghdaigh an codán \frac{40}{24} chuig na téarmaí is ísle trí 8 a bhaint agus a chealú.

$$r=\frac{5}{3}$$

Réitigh an chothromóid r=\frac{11±29}{24} nuair is ionann ± agus míneas. Dealaigh 29 ó 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Laghdaigh an codán \frac{-18}{24} chuig na téarmaí is ísle trí 6 a bhaint agus a chealú.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Tá an chothromóid réitithe anois.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Céimeanna chun an Chearnóg a Chomhlánú

Is féidir cothromóidí cearnach cosúil leis an gceann seo a réitigh tríd an gcearnóg a chomhlánú. Chun an chearnóg a chomhlánú, ní mór don chothromóid a bheith san fhoirm x^{2}+bx=c ar dtús.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Cuir 15 leis an dá thaobh den chothromóid.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Má dhealaítear -15 uaidh féin faightear 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Dealaigh -15 ó 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Roinn an dá thaobh faoi 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Má roinntear é faoi 12 cuirtear an iolrúchán faoi 12 ar ceal.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Laghdaigh an codán \frac{15}{12} chuig na téarmaí is ísle trí 3 a bhaint agus a chealú.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Roinn -\frac{11}{12}, comhéifeacht an téarma x, faoi 2 chun -\frac{11}{24} a fháil. Ansin suimigh uimhir chearnach -\frac{11}{24} leis an dá thaobh den chothromóid. Déanann an chéim seo slánchearnóg de thaobh clé na cothromóide.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Cearnaigh -\frac{11}{24} trí uimhreoir agus ainmneoir an chodáin a chearnú.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Suimigh \frac{5}{4} le \frac{121}{576} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Fachtóirigh r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Go ginearálta, nuair x^{2}+bx+c cearnóg fhoirfe é, is féidir é a fhachtóiriú i gcónaí mar \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Tóg fréamh chearnach an dá thaobh den chothromóid.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Simpligh.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Cuir \frac{11}{24} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$