Réitigh {l}{y=k(x-sqrt{3})}{x^2+4y^2-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = k ( x - \sqrt { 3 } ) } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Ionadú agus an bhFoirme Chearnach

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun k a mhéadú faoi x-\sqrt{3}.

$$y=kx-k\sqrt{3}$$

Bain kx ón dá thaobh.

$$y-kx=-k\sqrt{3}$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Cuir 4 leis an dá thaobh. Is ionann rud ar bith móide nialas agus a shuim féin.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k,x^{2}+4y^{2}=4$$

Réitigh y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k do y trí y ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k$$

Bain \left(-k\right)x ón dá thaobh den chothromóid.

$$y=kx-\sqrt{3}k$$

Cuir y in aonad kx-\sqrt{3}k sa chothromóid eile, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Cearnóg kx-\sqrt{3}k.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}\right)=4$$

Méadaigh 4 faoi k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Suimigh x^{2} le 4k^{2}x^{2}?

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Bain 4 ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}-4=0$$

Tá an chothromóid seo i bhfoirm chaighdeánach: ax^{2}+bx+c=0. Cuir 1+4k^{2} in ionad a, 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right) in ionad b, agus 12k^{2}-4 in ionad c san fhoirmle chearnach, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{\left(8k\left(-\sqrt{3}k\right)\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Cearnóg 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right).

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Méadaigh -4 faoi 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Méadaigh -4-16k^{2} faoi 12k^{2}-4.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+16+16k^{2}-192k^{4}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Suimigh 192k^{4} le 16k^{2}-192k^{4}+16?

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{16k^{2}+16}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Tóg fréamh chearnach 16k^{2}+16.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±4\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Méadaigh 2 faoi 1+4k^{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Réitigh an chothromóid x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} nuair is ionann ± agus plus. Suimigh 8\sqrt{3}k^{2} le 4\sqrt{k^{2}+1}?

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Roinn 8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1} faoi 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Réitigh an chothromóid x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} nuair is ionann ± agus míneas. Dealaigh 4\sqrt{k^{2}+1} ó 8\sqrt{3}k^{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Roinn 8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1} faoi 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Tá dhá réiteach ann do x: \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} agus \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}. Cuir x in aonad \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} sa chothromóid eile y=kx-\sqrt{3}k chun an réiteach comhfhreagrach do y a shásaíonn an dá chothromóid a fháil.

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

Méadaigh k faoi \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

Ansin cuir x in aonad \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} sa chothromóid eile y=kx-\sqrt{3}k agus faigh réiteach chun an réiteach comhfhreagrach do y a shásaíonn an dá chothromóid a fháil.

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

Méadaigh k faoi \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

Tá an córas réitithe anois.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}-1\right)}{6k^{2}}\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}+1\right)}{6k}\text{, }&k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.$$