Réitigh {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Cuir ny leis an dá thaobh den chothromóid.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Roinn an dá thaobh faoi m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Méadaigh \frac{1}{m} faoi ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Cuir x in aonad \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} sa chothromóid eile, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Suimigh \frac{ny}{m} le y?

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Bain m+\frac{n^{2}}{m} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Roinn an dá thaobh faoi \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Cuir y in aonad m-n in x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Méadaigh \frac{n}{m} faoi m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Suimigh m+\frac{n^{2}}{m} le \frac{n\left(m-n\right)}{m}?

$$x=m+n$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=m+n,y=m-n$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Chun mx agus x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 1 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Simpligh.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Dealaigh mx+my=2m^{2} ó mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh mx le -mx? Cuirtear na téarmaí mx agus -mx ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh -ny le -my?

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh m^{2}+n^{2} le -2m^{2}?

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -m-n.

$$y=m-n$$

Cuir y in aonad m-n in x+y=2m. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x+m-n=2m$$

Bain m-n ón dá thaobh den chothromóid.

$$x=m+n$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=m+n,y=m-n$$

Réitigh do x,y.

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Cuir ny leis an dá thaobh den chothromóid.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Roinn an dá thaobh faoi m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Méadaigh \frac{1}{m} faoi ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Cuir x in aonad \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} sa chothromóid eile, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Suimigh \frac{ny}{m} le y?

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Bain m+\frac{n^{2}}{m} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Roinn an dá thaobh faoi \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Cuir y in aonad m-n in x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Méadaigh \frac{n}{m} faoi m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Suimigh m+\frac{n^{2}}{m} le \frac{n\left(m-n\right)}{m}?

$$x=m+n$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=m+n,y=m-n$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Chun mx agus x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 1 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Simpligh.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Dealaigh mx+my=2m^{2} ó mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh mx le -mx? Cuirtear na téarmaí mx agus -mx ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh -ny le -my?

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suimigh m^{2}+n^{2} le -2m^{2}?

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Roinn an dá thaobh faoi -m-n.

$$y=m-n$$

Cuir y in aonad m-n in x+y=2m. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x+m-n=2m$$

Bain m-n ón dá thaobh den chothromóid.

$$x=m+n$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=m+n,y=m-n$$