Réitigh {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$fx-y=7$$

Cuir y leis an dá thaobh den chothromóid.

$$fx=y+7$$

Roinn an dá thaobh faoi f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Méadaigh \frac{1}{f} faoi y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Cuir x in aonad \frac{7+y}{f} sa chothromóid eile, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Méadaigh -9 faoi \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Suimigh -\frac{9y}{f} le fy?

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Cuir \frac{63}{f} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Roinn an dá thaobh faoi f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Cuir y in aonad \frac{63+8f}{f^{2}-9} in x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Méadaigh \frac{1}{f} faoi \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Suimigh \frac{7}{f} le \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}?

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Chun fx agus -9x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi -9 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Simpligh.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Dealaigh \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ó \left(-9f\right)x+9y=-63 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh -9fx le 9fx? Cuirtear na téarmaí -9fx agus 9fx ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh 9y le -f^{2}y?

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh -63 le -8f?

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Roinn an dá thaobh faoi -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Cuir y in aonad -\frac{63+8f}{9-f^{2}} in -9x+fy=8. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Méadaigh f faoi -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Cuir \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Roinn an dá thaobh faoi -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Réitigh do x,y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$fx-y=7$$

Cuir y leis an dá thaobh den chothromóid.

$$fx=y+7$$

Roinn an dá thaobh faoi f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Méadaigh \frac{1}{f} faoi y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Cuir x in aonad \frac{7+y}{f} sa chothromóid eile, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Méadaigh -9 faoi \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Suimigh -\frac{9y}{f} le fy?

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Cuir \frac{63}{f} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Roinn an dá thaobh faoi f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Cuir y in aonad \frac{63+8f}{f^{2}-9} in x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Méadaigh \frac{1}{f} faoi \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Suimigh \frac{7}{f} le \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}?

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Bain y ón dá thaobh.

$$fx-y=7$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Bain 9x ón dá thaobh.

$$fy-9x=8$$

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Chun fx agus -9x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi -9 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Simpligh.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Dealaigh \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ó \left(-9f\right)x+9y=-63 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh -9fx le 9fx? Cuirtear na téarmaí -9fx agus 9fx ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh 9y le -f^{2}y?

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suimigh -63 le -8f?

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Roinn an dá thaobh faoi -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Cuir y in aonad -\frac{63+8f}{9-f^{2}} in -9x+fy=8. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Méadaigh f faoi -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Cuir \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} leis an dá thaobh den chothromóid.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Roinn an dá thaobh faoi -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$