Réitigh {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$Ax+By=C$$

Bain By ón dá thaobh den chothromóid.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Roinn an dá thaobh faoi A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Méadaigh \frac{1}{A} faoi -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Cuir x in aonad \frac{-By+C}{A} sa chothromóid eile, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Méadaigh D faoi \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Suimigh -\frac{DBy}{A} le Cy?

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Bain \frac{DC}{A} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Roinn an dá thaobh faoi C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Cuir y in aonad \frac{FA-DC}{CA-DB} in x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Méadaigh -\frac{B}{A} faoi \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Suimigh \frac{C}{A} le -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}?

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Chun Ax agus Dx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi D agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Simpligh.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Dealaigh ADx+ACy=AF ó ADx+BDy=CD trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Suimigh DAx le -DAx? Cuirtear na téarmaí DAx agus -DAx ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Suimigh DBy le -ACy?

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Roinn an dá thaobh faoi DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Cuir y in aonad \frac{DC-AF}{DB-AC} in Dx+Cy=F. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Méadaigh C faoi \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Bain \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} ón dá thaobh den chothromóid.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Roinn an dá thaobh faoi D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$