Réitigh {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x=2$$

$$y=1$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$41x+53y=135$$

Bain 53y ón dá thaobh den chothromóid.

$$41x=-53y+135$$

Roinn an dá thaobh faoi 41.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Méadaigh \frac{1}{41} faoi -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Cuir x in aonad \frac{-53y+135}{41} sa chothromóid eile, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Méadaigh 53 faoi \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Suimigh -\frac{2809y}{41} le 41y?

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Bain \frac{7155}{41} ón dá thaobh den chothromóid.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi -\frac{1128}{41}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=1$$

Cuir y in aonad 1 in x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Suimigh \frac{135}{41} le -\frac{53}{41} trí chomhainmneoir a fháil agus na huimhreoirí a shuimiú. Laghdaigh an codán ansin go dtí na téarmaí is ísle más féidir.

$$x=2$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=2,y=1$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=2,y=1$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Chun 41x agus 53x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 53 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 41.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Simpligh.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Dealaigh 2173x+1681y=6027 ó 2173x+2809y=7155 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Suimigh 2173x le -2173x? Cuirtear na téarmaí 2173x agus -2173x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Suimigh 2809y le -1681y?

$$1128y=7155-6027$$

Suimigh 7155 le -6027?

$$1128y=1128$$

Roinn an dá thaobh faoi 1128.

$$y=1$$

Cuir y in aonad 1 in 53x+41y=147. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$53x+41=147$$

Bain 41 ón dá thaobh den chothromóid.

$$53x=106$$

Roinn an dá thaobh faoi 53.

$$x=2$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=2,y=1$$